Родился 5 июня 1920 года в городе Брянске. Окончил 7 классов и школу фабрично-заводского обучения. Работал токарем, затем бригадиром ремонтной базы № 6 в посёлке Урицкий (ныне в черте города Брянска). С 23 января 1940 года в рядах Красной Армии, призван Брянским ГВК. В 1941 году окончил Чугуевскую военную авиационную школу пилотов.

С 4 апреля 1943 года младший лейтенант Б. М. Афанасьев в действующей армии. Воевал в составе 21-го ИАП. Прошёл путь от рядового лётчика до заместителя командира эскадрильи. Сражался на Калининском, 1-м Прибалтийском и 3-м Белорусском фронтах. Летал на Ла-5 и Ла-7.

К концу апреля 1945 года заместитель командира эскадрильи 21-го истребительного авиационного полка (259-я истребительная авиационная дивизия, 3-я Воздушная армия, 3-й Белорусский фронт) старший лейтенант Б. М. Афанасьев совершил 367 боевых вылетов (включая 152 на разведку), провёл 23 воздушных боя, в которых сбил лично 6 и в составе группы 2 самолёта противника (в наградном листе указывается на 8 личных и 1 групповую победы, но это не подтверждается оперативными и отчётными документами). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".

После войны продолжал службу в Военно-Воздушных Силах. В 1956 году окончил Центральные курсы усовершенствования офицерского состава. В 1955-1957 гг. - командир 348-го ИАП (113-я ИАД, 22-я Воздушная армии, штаб в Петрозаводске). С 4 октября 1960 года полковник Б. М. Афанасьев - в запасе. Жил в городе Рига (Латвия). Умер 14 сентября 1976 года. Похоронен на кладбище Микеля (в Риге).

Награждён орденами: Ленина (29.06.1945), Красного Знамени (25.06.1943, 24.02.1944, 20.09.1944), Отечественной войны 1-й степени (17.10.1943, 30.01.1945), Красной Звезды (1955); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).