Родился 16 декабря 1919 года в селе Сасыкино (ныне Шиловского района Рязанской области). В 1934 году окончил 7 классов средней школы. Работал в колхозе "Путь Ленина" (Шиловского района), с января 1937 года - учеником шофёра на паточном заводе (Шиловского района), с февраля 1938 года - мойщиком на Монинском текстильном комбинате (Щёлковского района Московской области), с ноября 1938 года - слесарем на Щёлковской фабрике технических тканей. В 1939 году окончил Щёлковский аэроклуб. С 28 марта 1940 года в рядах Красной Армии, призван Щёлковским РВК (Московской области). В мае 1941 года окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов. Служил лётчиком в 8-м ИАП (ВВС Забайкальского военного округа). С октября 1942 года находился в распоряжении Управления Кадров ВВС Красной Армии.

С 23 апреля 1943 года сержант Н. Ф. Акулкин в действующей армии: в должности лётчика 236-го ИАП (24 августа 1943 года преобразован в 112-й Гвардейский ИАП), летал на Як-1Б. Воевать начал на Северо-Кавказском фронте (в составе 201-й ИАД, 2-го САК, 4-й Воздушной армии). С 17 июля 1943 года воевал уже на Воронежском фронте (в составе 10-го ИАК, 2-й Воздушной армии). Участвовал в Курской битве и Изюм-Барвенковской наступательной операции. 26 июля 1943 года ему присвоили воинское звание "младший лейтенант".

С августа по сентябрь 1943 года принимал участие в Белгородско-Харьковской, Донбасской, Днепровской и Запорожской операциях. 18 сентября 1943 года назначен старшим лётчиком. С 10 октября 1943 года участвовал в Запорожской операции.

15 октября 1943 года старший лётчик 112-го Гвардейского истребительного авиационного полка (10-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 10-й истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, Воронежский фронт) младший лейтенант Н. Ф. Акулкин не вернулся с боевого задания, числится пропавшим без вести. Всего совершил около 100 боевых вылетов, провёл более 30 воздушных боёв и сбил лично 6 самолётов противника.

Награждён орденом Отечественной войны 1-й степени (13.09.1943).