Родился 10 августа 1915 года в селе Вородьково (Кричевский район Могилёвской области, Республика Беларусь). Окончил 7 классов сельской школы. С февраля 1937 года по август 1938 года проходил срочную службу в рядах Красной Армии. Затем жил и работал в Московской области. С декабря 1940 года снова в рядах Красной Армии (призван Красногорским РВК Московской области). В 1941 году окончил Остафьевскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в ВВС Московского военного округа.

С июля 1941 года младший лейтенант А. М. Балабайкин на фронтах Великой Отечественной войны в должности лётчика 178-го ИАП, летал на ЛаГГ-3 и Ла-5. Участвовал в боевых действиях в составе Московского и Центрального фронтов ПВО, защищал небо Москвы. Дважды был ранен.

К октябрю 1943 года старший лётчик 178-го истребительного авиационного полка (1-я Воздушная истребительная армия ПВО) младший лейтенант А. М. Балабайкин совершил 205 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 1 и в составе пары 1 самолёт противника (1 октября 1943 года 178-й ИАП официально был выведен из состава действующей армии и боевой работой больше не занимался). Весной 1945 года освоил английский истребитель "Спитфайр".

После окончания войны продолжал служить в ВВС. В октябре 1950 года майор А. М. Балабайкин, в числе группы лётчиков 178-го ИАП, был направлен в 148-й Гвардейский ИАП. Служил в должности инспектора по технике пилотирования. В декабре 1951 года назначен помощником командира 148-го Гвардейского ИАП по воздушно-стрелковой службе и тактике воздушного боя.

Участник войны в Корее с января по июль 1952 года в составе 148-го Гвардейского истребительного авиационного полка (97-я истребительная авиационная дивизия ПВО, 64-й истребительный авиационный корпус). Летал на МиГ-15бис, в воздушных боях сбил лично 4 самолёта ВВС США. В начале мая 1952 года присвоено воинское звание "подполковник", а 25 июля того же года назначен командиром 148-го Гвардейского ИАП.

После возвращения в СССР, продолжал службу в частях ВВС, командовал 176-м истребительным авиационным полком (283-я истребительная авиационная дивизия) на аэродроме Миха-Цхакая, в Грузии. С 20 января 1956 года подполковник А. М. Балабайкин - в запасе. Жил в Москве. Умер 22 июня 1984 года.

Награждён орденами: Красного Знамени (25.09.1952), Отечественной войны 2-й степени (22.02.1944), Красной Звезды (05.11.1954); 9 медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950), а так же медалью "Советско-Китайской дружбы" (КНР).

Список известных воздушных побед А. М. Балабайкина:

Великая Отечественная война 1941-1945 гг.

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
19.03.1943	1  Ю-88  (в паре)	Холмы  (западнее Мосальск)	ЛаГГ-3
12.04.1943	1  Ю-88	южнее Козельск
Всего сбитых самолётов - 1 + 1;  боевых вылетов - 205  (к февралю 1944).

Вооружённый конфликт в Корее 1950-1953 гг.

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
13.04.1952	1  Ф-86	район реки Ялуцзян	МиГ-15бис
21.04.1952	1  Ф-86
25.05.1952	1  Ф-84
	1  Ф-86
Всего сбитых самолётов - 4 + 0.

Из фотоматериалов разных лет: