Родился 14 октября 1918 года в селе Борисовка (ныне Валуйского района Белгородской области). В 1935 году окончания 7 классов средней школы, работал слесарем на Валуйском холодильнике. Осенью 1935 года в Шебекино открылся филиал Курского аэроклуба Осоавиахима, а в 1937 году Шебекинский аэроклуб имени 10-го съезда ВЛКСМ выделился в самостоятельную структурную единицу. В 1937 году юноша поступил в аэроклуб и устроился на работу в Щебекинскую среднюю школу счетоводом. С 28 февраля 1939 года в рядах Красной Армии, добровольно поступил в Качинскую военную авиационную школу пилотов, которую окончил весной 1940 года с присвоением воинского звания "младший лейтенант". С 20 мая 1940 года служил младшим лётчиком в 161-м РЕЗАП (ВВС Западного особого военного округа), с 18 декабря 1940 года - лётчиком в 167-м ИАП (ВВС Среднеазиатского военного округа), к 20 июля 1942 года - командиром звена в 116-м ИАП (ВВС Среднеазиатского военного округа), выполнял задачи ПВО города Красноводска.

С 3 января 1943 года младший лейтенант Р. Е. Борисов в действующей армии: в должности командира звена 116-го ИАП. Воевать начал на Закавказском фронте (в составе 295-й ИАД, 5-й Воздушной армии, Черноморской группы войск), летал на И-16. С 18 марта 1943 года боевой работы не вёл: полк был выведен с фронта на доукомплектование и переучивание, с 25 марта 1943 года в 4-м ЗИАП Московского военного округа (город Моршанск, Тамбовской области) проходил переформирование и переучивался на истребители Ла-5. 31 марта 1943 года лейтенант Р. Е. Борисов назначен заместителем командира эскадрильи.

С 24 мая 1943 года приступил к боевой работе на Юго-Западном фронте (в составе 295-й ИАД, 17-й Воздушной армии), летая на Ла-5.

19 июля 1943 года временно исполняющий должность командира эскадрильи 116-го истребительного авиационного полка (295-я истребительная авиационная дивизия, 9-й смешанный авиационный корпус, 17-я Воздушная армия, Юго-Западный фронт) лейтенант Р. Е. Борисов погиб в воздушном бою. Всего совершил около 90 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 5 самолётов противника. 27 июля 1943 года посмертно присвоено воинское звание "старший лейтенант".

Награждён орденами: Красного Знамени (30.07.1943), Отечественной войны 2-й степени (11.02.1943).