Родился 5 января 1922 года в деревне Хоприк (ныне входит в Большежуравское сельское поселение Аркадакского района Саратовской области). Окончил среднюю школу. С 22 апреля 1941 года в рядах Красной Армии. В 1943 году окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 15 октября 1943 года младший лейтенант А. Ф. Челноков в действующей армии: в должности пилота 161-го ИАП. Воевать начал на Юго-Западном фронте, который 20 октября 1943 года был переименован в 3-й Украинский фронт (в составе 295-й ИАД, 17-й Воздушной армии), летал на Ла-5. С ноября 1943 года боевой работы не вёл: полк во 2-м ЗИАП Московского военного округа (станция Сейма) проходил переформирование, а с февраля 1944 года находился в Резерве Ставки ВГК (на аэродроме Волынцево, Тульской области). С 8 июля 1944 года приступил к боевой работе на 3-м Прибалтийском фронте (в составе 330-й ИАД, 14-й Воздушной армии) в должности старшего лётчика.

11 октября 1944 года, при сопровождении группы штурмовиков Ил-2, в районе города Риги в воздушном бою с 6 ФВ-190 был подбит (пробита левая плоскость, перебиты тяги элерона), ранен осколками зенитного снаряда в голову и получил перелом правой руки. Несмотря на ранения, сумел довести подбитый самолёт до своего аэродрома. 20 октября вернулся в строй и приступил к боевой работе на 3-м Белорусском фронте (в составе 1-й Воздушной армии). Принимал участие в боях за овладение городом Рига (ныне столица Латвии), освобождении Восточной Пруссии. В феврале 1945 года начал осваивать истребитель Ла-7, участвовал в боях за взятие города-крепости Кёнигсберг.

К 9 мая 1945 года командир звена 3-й эскадрильи 161-го истребительного авиационного полка (330-я истребительная авиационная дивизия, 1-я Воздушная армия, 3-й Белорусский фронт) старший лейтенант А. Ф. Челноков совершил около 110 боевых вылетов, провёл более 10 воздушных боёв и сбил лично 6 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в должности заместителя командира и штурмана эскадрильи 161-го ИАП. 19 сентября 1948 года капитан А. Ф. Челноков умер от травм, полученных 12 сентября 1948 года в автомобильной аварии (при столкновении мотоцикла с автомашиной). Похоронен в городе Гатчина (административный центр Гатчинского района Ленинградской области).

Награждён орденами: Красного Знамени (27.10.1944), Александра Невского (29.04.1945), Красной Звезды (18.08.1944); медалями.