Родился 27 апреля 1921 года в городе Кропоткин (Крапоткинский район Краснодарского края). В 1936 году окончил 7 классов средней школы. С 11 февраля 1939 года в рядах Красной Армии, призван Кропоткинским РВК. В 1940 году окончил Качинскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС Среднеазиатского военного округа.

С апреля 1944 года старший лейтенант Г. К. Елисеев на фронтах Великой Отечественной войны в должности командира звена 352-го ИАП. Вскоре был назначен начальником воздушно-стрелковой службы и штурманом полка. С сентября 1944 года - заместитель командира полка. Летал на "Аэрокобре".

К 9 мая 1945 года заместитель командира по лётной подготовке, он же инспектор-лётчик по технике пилотирования и теории полёта 352-го истребительного авиационного полка (273-я истребительная авиационная дивизия, 6-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) капитан Г. К. Елисеев совершил 122 боевых вылета, в 18 воздушных боях сбил лично 5 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 21 декабря 1964 года полковник Г. К. Елисеев - в отставке. Умер 20 декабря 1980 года.

Награждён орденами: Красного Знамени (18.09.1944, 30.04.1945), Александра Невского (31.07.1945), Отечественной войны 1-й степени (29.03.1945), Красной Звезды (30.04.1954); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).