Родился 27 июля 1919 года в селе Октябрьское (ныне Новгород-Северского района Черниговской области). Окончил среднюю школу и Симферопольский аэроклуб. С 24 февраля 1941 года в рядах Красной Армии, призван по специальному набору Симферопольским ГВК (Крымской АССР). В 1942 году окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов. Служил в 13-м ЗИАП ВВС Приволжского военного округа (город Кузнецк, Пензенской области). 15 марта 1943 года был направлен в 774-й ИАП, который находился в Резерве Ставки ВГК в Приволжском военном округе, где проходил переформирование и пополнялся истребителями Як-1Б.

С 3 июня 1943 года сержант Н. Е. Ерошик в действующей армии: в должности лётчика 774-го ИАП. Воевать начал на Центральном фронте (в составе 282-й ИАД, 6-го САК, 16-й Воздушной армии), летал на Як-1Б и Як-7Б. С 14 июля 1943 года воевал на Брянском фронте (куда полк был временно передан на усиление 234-й ИАД, 15-й Ввздушной армии), 15 августа 1943 года вернулся на Центральный фронт, который 20 октября 1943 года был переименован в Белорусский фронт, а 17 февраля 1944 года - в 1-й Белорусский фронт.

28 октября 1943 года младший лейтенант Н. Е. Ерошик при сопровождении своих бомбардировщиков "Бостон-3" (американский самолёт Douglas DB-7B, поставляемый в Советский Союз по ленд-лизу) в районе Краснополье - Надвич был сбит в воздушном бою на истребителе Як-7Б, выпрыгнул на парашюте в районе Райск - Ястребка. Вскоре вернулся в полк и продолжил боевую работу.

К концу июля 1944 года командир звена 774-го истребительного авиационного полка (282-я истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) лейтенант Н. Е. Ерошик совершил более 50 боевых вылетов, провёл более 20 воздушных боёв, сбил лично 6 и в составе группы 1 самолёт противника. 28 июля 1944 года убыл в Высшую офицерскую школу воздушного боя ВВС КА и боевой работы больше не вёл.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 6 июня 1955 года капитан Н. Е. Ерошик - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (14.05.1943), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (18.07.1943); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (17.05.1951).