Родился 4 (17) февраля 1917 года в посёлке Хохлы (ныне Шумихинский район Курганской области). В 1932-1934 гг. жил в селе Малое Дюрягино (ныне Шумихинского района) и по месту работы отца в Кировской области, с 1934 года - в посёлке Шумиха (ныне город Курганской области). В 1935 году, окончив 7 классов школы, уехал в Челябинск и поступил в школу ФЗУ тракторного завода, которую окончил в следующем году. В 1936-1938 гг. работал на Челябинском тракторном заводе токарем по металлу и наладчиком токарных автоматов. Там его пригласили в Челябинский аэроклуб, который он окончил в 1938 году. С сентября 1938 года в рядах Красной Армии. В 1939 году окончил полковую школу. До апреля 1940 года служил командиром отделения и помощником командира взвода на 51-й авиационной базе (на Дальнем Востоке). В январе 1941 года окончил Бирмскую военную авиационную школу пилотов и был оставлен в ней лётчиком-инструктором. В августе 1941 года вместе со школой был переведён из Серышевского района Амурской области в город Ленинск-Кузнецкий (ныне Кемеровской области), а в июне 1942 года - в город Черногорск (Хакасия). Летал на И-16 и УТИ-4.

В конце 1942 года направлен в Москву, в распоряжение Главного штаба ВВС КА для перегонки американских самолётов "Аэрокобра", поставляемых по ленд-лизу из Америки. В Москве К. А. Евстигнееву удалось после встречи с известным лётчиком И. С. Солдатенко добиться отправки на фронт. С ноября 1942 года - лётчик 240-го ИАП, который в это время проходил переформирование во 2-м и 14-м ЗИАП (на станции Сейма и в городе Иваново).

С 17 марта 1943 года сержант К. А. Евстигнеев на фронтах Великой Отечественной войны в составе 240-го ИАП (2 июля 1944 года преобразован в 178-й Гвардейский ИАП). Летал на Ла-5. Менее чем за 8 месяцев боевой работы вырос в должности от рядового лётчика до командира эскадрильи.

18 июля 1943 года за выполнение 70 боевых вылетов и участие в 18 воздушных боях, в которых сбил лично 10 и в составе группы 2 самолёта противника (по наградным документам), командир звена 240-го истребительного авиационного полка (302-я ИАД, 4-й ИАК, 2-я ВА, Воронежский фронт) младший лейтенант К. А. Евстигнеев был представлен к званию Героя Советского Союза. Представление было подписано всеми командирами вплоть до командующего фронтом Н. Ф. Ватутина. Однако в Штабе ВВС решили иначе, и К. А. Евстигнеев был награждён орденом Суворова 3-й степени.

5 августа 1943 года был по ошибке сбит очередью своего Як-7 над своей территорией, сам он ранен в ноги. Самолёт сразу же загорелся. С трудом лётчику удалось выбраться из машины и раскрыть парашют. Ранение было весьма неприятным. За сохранение левой стопы пришлось бороться, а на 9-й день после своего прыжка он убежал из госпиталя. Пройдя по пустынным лесным дорогам на костылях около 35 километров, вышел на аэродром соседнего полка.

В середине августа 1943 года назначен командиром 2-й эскадрильи. Ведомым он выбрал себе младшего лейтенанта В.Ф. Мудрецова, за 19 личных побед впоследствии удостоенного звания Героя Советского Союза. В паре с ним К. А. Евстигнеев совершил около 200 боевых вылетов, лично сбил более 40 самолётов противника.

К 19 ноября 1943 года командир эскадрильи 240-го истребительного авиационного полка (302-я ИАД, 4-й ИАК, 5-я ВА, 2-й Украинский фронт) старший лейтенант К. А. Евстигнеев совершил 144 боевых вылета, а 53 воздушных боях сбил лично 24 и в группе 3 самолёта противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 августа 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина (№ 19094) и медали "Золотая Звезда" (№ 4039).

В июне 1944 года, учитывая затишье на передовой, был направлен в госпиталь - лечить открывшуюся язву. К тому времени (июль 1944 года) на его счету было 45 лично сбитых самолётов противника. Лётчику вручили награду союзников - орден Британской империи V степени. Около 2-х месяцев провёл он в госпитале, где застал его Указ о присвоении звания Героя Советского Союза. 29 августа 1944 года из рук М. И. Калинина он получил "Золотую Звезду", а на следующий день снова сбежал из госпиталя на фронт.

К 20 октября 1944 года командир эскадрильи 178-го Гвардейского истребительного авиационного полка (14-я Гвардейская ИАД, 3-й Гвардейский ИАК, 5-я ВА, 2-й Украинский фронт) Гвардии капитан К. А. Евстигнеев совершил 227 боевых вылетов, провёл 97 воздушных боёв, сбил 50 самолётов противника (47 лично и 3 в группе). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года ему присвоено звание дважды Героя Советского Союза с вручением второй медали "Золотая Звезда" (№ 2284).

Войну закончил в звании Гвардии майора и должности заместителя командира 178-го Гвардейского ИАП по лётной части. Всего совершил 283 боевых вылета, провёл 113 воздушных боёв, сбил лично 52 и в составе группы 3 самолёта противника. Воевал на Воронежском, Степном и 2-м Украинском фронтах. Участвовал в Курской битве, Белгородско-Харьковской и Сумско-Прилукской операциях, битве за Днепр, Кировоградской, Корсунь-Шевченковской, Уманско-Ботошанской, Дебреценской, Будапештской, Венской, Братиславско-Брновской и Пражской операциях.

20 мая 1945 года Гвардии майор К. А. Евстигнеев был представлен к награждению третьей медалью "Золотая Звезда". Представление подписали командир полка Н. И. Ольховский, командир дивизии А. П. Юдаков, командир корпуса И. Д. Подгорный, командующий 5-й Воздушной армией С. К. Горюнов... Но представление так и не было реализовано.

После окончания войны, до декабря 1948 года продолжал служить заместителем командира 178-го Гвардейского ИАП по лётной подготовке. Летал на Ла-7 и Ла-9. В ноябре 1949 года окончил Липецкие высшие офицерские лётно-тактические курсы ВВС. До сентября 1951 года служил командиром истребительного авиационного полка Липецких курсов. В 1955 году окончил Военно-воздушную академию (в Монино). С ноября 1955 по сентябрь 1958 гг. был начальником штаба Фрунзенского военного авиационного училища лётчиков (ныне город Бишкек, Киргизия). В 1960 году окончил Военную академию Генерального штаба. В июне 1960 - декабре 1962 гг. - начальник штаба Качинского ВВАУЛ (город Волгоград). В декабре 1962 - июле 1963 гг. - начальник оперативного отдела штаба ВВС Северо-Кавказского военного округа (город Ростов-на-Дону), в июле 1963 - апреле 1964 гг. - заместитель начальника штаба 69-й Воздушной армии (в Киевском военном округе; штаб - в городе Киеве, Украина). В апреле 1964 - декабре 1970 гг. - начальник штаба авиации Северо-Кавказского военного округа (город Ростов-на-Дону). В 1970-1972 гг. - начальник подготовки лётного состава кадра и запаса в Управлении военными учебными заведениями ВВС. С октября 1972 года генерал-майор авиации К. А. Евстигнеев - в запасе.

В 1980-1981 работал руководителем группы в Государственном институте по проектированию заводов тяжёлого машиностроения "Гипротяжмаш". Написал книгу воспоминаний. Жил в Москве. Умер 29 августа 1996 года, похоронен на Кунцевском кладбище (участок 10). Почётный гражданин Шумихи (1967).

Награждён орденами: Ленина (02.08.1944), Красного Знамени (11.10.1943, 26.10.1943, 22.02.1945, 22.02.1968), Суворова 3-й степени (02.10.1943), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (30.04.1943), Красной Звезды (03.11.1953); медалями, иностранными наградами: орденом Британской Империи V степени (1943), орден Заслуг Венгерской Народной Республики V степени (04.04.1955).

Бронзовый бюст К. А. Евстигнеева установлен в городе Шумихе (Курганской области, открыт в 1952 году), где его именем названа улица. В Шумихе на здании школы, в которой он учился, установлена мемориальная доска. Имя К. А. Евстигнеева носит Курганский авиационно-спортивный клуб, на здании которого установлена мемориальная доска в его честь.

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
28.03.1943	1  Ме-109	Титовка	Ла-5
12.04.1943	1  Ме-110	северо-западнее аэродром Уразово
06.05.1943	1  Ме-110	северо-западнее Великий Бурлук
	1  Ю-88	Великий Бурлук
07.07.1943	1  Ю-87  (в группе 1/6)	Быковка
08.07.1943	3  Ю-87	Красная Поляна
09.07.1943	1  Ме-109	восточнее Карташовка
13.07.1943	1  Ме-109  (в паре)	юго-западнее Прохоровка
16.07.1943	1  Ме-109	западнее Быковка
02.10.1943	1  Ме-109	Орлик
	1  Ме-109	западнее Калужино
	1  Ю-87	Андреевка
03.10.1943	1  Ме-109	южнее Бородаевка
04.10.1943	1  Ю-87	юго-западнее Бородаевка
05.10.1943	1  ФВ-190	западнее Мишурин Рог
	1  Ю-87	западнее Бородаевка
07.10.1943	2  Ю-87	северо-западнее Бородаевка
	1  Ме-109	севернее Бородаевка
10.10.1943	1  Ме-109	юго-восточнее Бородаевка
16.10.1943	1  Ю-87	северо-западнее Лиховка
20.10.1943	1  Хе-111  (в группе 1/6)	западнее Зелёное
21.10.1943	1  ФВ-189	западнее Саевка
28.10.1943	1  Ю-87	западнее Кривой Рог
29.10.1943	1  Ме-109	Ивановка
29.03.1944	1  Ме-109	севернее Яссы
17.04.1944	1  Ю-88	южнее Таутошти
	1  ФВ-190	южнее Редиу Улуй
23.04.1944	1  ФВ-190	восточнее Яссы
28.04.1944	1  Ю-87	северо-западнее Яссы
	1  ФВ-190	южнее Тэтэрушул
29.04.1944	1  ФВ-190	западнее Тэтэрушул
05.05.1944	1  Хш-126	Думешти
07.05.1944	1  Ме-109	Костешти
	1  Ме-109	северо-западнее Костешти
30.05.1944	1  Ме-109	Скулени
31.05.1944	1  ФВ-190	Тэтэрушул
01.06.1944	1  Ю-87	севернее Яссы
	1  Ме-109	Антонину
02.06.1944	1  Ю-87	Скулени
03.06.1944	1  Хш-129
	2  ФВ-190	Епурени
05.06.1944	2  ФВ-190	Захорна
	1  Ме-109	севернее Яссы
07.10.1944	1  ФВ-190	Кереш-Тарча
15.10.1944	1  ФВ-190	юго-восточнее Надь-Лета
16.11.1944	1  Ме-109	Ясароксаллаш
16.01.1945	2  Ю-52	западнее Пилишверешвар
17.02.1945	1  ФВ-190	западнее Солдины
26.03.1945	1  ФВ-190	Будапешт
Всего сбитых самолётов - 52 + 3;  боевых вылетов - 283;  воздушных боёв - 113.

Из фотоматериалов разных лет:

Из материалов прессы военных лет: