Родился 11 ноября 1920 года в деревне Карповка (Верховский район Орловской области). С 13 лет жил в Москве. Окончил 7 классов и школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал слесарем треста "Союзмонтаж" в Москве и учился в аэроклубе. С 28 декабря 1938 года в рядах Красной Армии. В 1939 году окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов. Участник Советско-Финляндской войны 1939-1940 гг.

С июня 1941 года младший лейтенант М. И. Евтеев на фронтах Великой Отечественной войны. Воевал в составе 44-го ИАП (7 марта 1942 года преобразован в 11-й Гвардейский ИАП), который с 7 июля 1941 года входил в 7-й истребительный авиакорпус ПВО, оборонявший Ленинград. Был рядовым лётчиком, командиром звена, заместителем командира и командиром эскадрильи. Летал на МиГ-3, ЛаГГ-3 и Ла-5.

К июлю 1943 года командир эскадрильи 11-го Гвардейского истребительного авиационного полка (7-й истребительный авиационный корпус, Ленинградская армия ПВО) Гвардии капитан М. И. Евтеев совершил 285 боевых вылетов, в 65 воздушных боях сбил лично 11 и в составе группы 7 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 28 сентября 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1756).

К концу войны Гвардии майор М. И. Евтеев выполнил 296 боевых вылетов, провёл около 70 воздушных боёв, в которых сбил 12 самолётов противника лично и 9 в группе с другими лётчиками.

После войны окончил Высшую школу штурманов ВВС, служил в войсках ПВО Страны. С 17 сентября 1953 года Гвардии подполковник М. И. Евтеев - в запасе. Жил в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). Умер 21 июля 1971 года.

Награждён орденами: Ленина (28.09.1943), Красного Знамени (26.02.1942, 22.07.1945), Александра Невского (08.03.1944), Отечественной войны 1-й степени (06.03.1943); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).