Родился 4 декабря 1918 года в деревне Нащекино (ныне Бронницкого района Московской области). Окончил среднюю школу. С 16 октября 1938 года в рядах Красной Армии, призван Таганским РВК (города Москвы). Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС. Участник похода советских войск в Польшу (с 17 сентября 1939 года). В мае-июне 1943 года проходил переучивание на новую технику во 2-м ЗИАП (ВВС Московского военного округа).

С 17 июля 1943 года младший лейтенант А. В. Калмыков в действующей армии. Воевал в составе 13-го ИАП (24 августа 1943 года преобразован в 111-й Гвардейский ИАП). Прошёл путь от рядового пилота до заместителя командира эскадрильи. Воевать начал на Воронежском фронте, который 20 октября 1943 года переименован в 1-й Украинский фронт (в составе 201-й ИАД, 10-го ИАК, 2-й Воздушной армии), летая на Ла-5. С 5 августа 1944 года воевал на 4-м Украинском фронте (в составе 8-й Воздушной армии).

Со 2 ноября 1944 года боевой работы не вёл: лётный состав полка убыл в город Тула для переучивания на истребители Ла-7. С марта 1945 года возобновил боевую работу на 4-м Украинском фронте (в составе 8-й Воздушной армии), летая уже на Ла-7. Принимал участие в Моравско-Остравской и Пражской наступательных операциях.

К 11 мая 1945 года заместитель командира эскадрильи 111-го Гвардейского истребительного авиационного полка (10-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 10-й истребительный авиационный корпус, 8-я Воздушная армия, 4-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант А. В. Калмыков совершил 174 боевых вылета, в 35 воздушных боях сбил лично 9 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 24 сентября 1960 года Гвардии полковник А. В. Калмыков - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (07.02.1944, 12.05.1944, 30.05.1945, 04.06.1955), Красной Звезды (31.08.1943, 30.04.1954); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).