Родился 4 (17) октября 1917 года в деревне Филенёво (ныне Ферзиковский район Калужской области). В 1933 году окончил 7 классов школы, в 1935 году - школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ) в Калуге. В 1935-1939 гг. работал слесарем-инструментальщиком на Калужском машиностроительном заводе Наркомата путей сообщения. В 1938 году окончил Калужский аэроклуб. С 1 марта 1939 года в рядах Красной Армии. В мае 1940 года окончил Качинскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в 161-м Резервном авиационном полку (ВВС Западного Особого военного округа). С 25 января 1941 года - лётчик 20-го ИАП (ВВС Киевского Особого военного округа).

С июля 1941 года младший лейтенант А. Т. Карпов на фронтах Великой Отечественной войны в составе 121-го ИАП (6-й ИАК ПВО, Московская зона ПВО), летал на Як-1. 15 августа 1941 года был ранен в воздушном бою. В конце августа 1941 года полк был переведён под Ленинград. Там младший лейтенант А. Т. Карпов одержал свою первую победу, в паре над Тосно сбив Ме-109Ф, записанный как "Ме-115". В октябре 1941 года был переведён пилотом в 123-й ИАП (22 ноября 1942 года преобразован в 27-й Гвардейский ИАП), где прошёл путь до командира эскадрильи. Участвовал в обороне Ленинграда, прорыве и снятии блокады Ленинграда, Выборгской операции. Летал на Як-1, Як-7 и Як-9. 8 июля 1943 года был сбит в воздушном бою, спасся на парашюте.

30 июня 1943 года сбил Ме-109, который было решено считать 1000-м самолётом противника, сбитым на "Яках" под Ленинградом. С этой победой его поздравил главный конструктор, заместитель наркома авиационной промышленности СССР, генерал-майор инженерно-авиационной службы А. С. Яковлев.

К 7 августа 1943 года командир эскадрильи 27-го Гвардейского истребительного авиационного полка (2-й Гвардейский ИАК ПВО, Ленинградская армия ПВО) Гвардии капитан А. Т. Карпов совершил 370 боевых вылетов, провёл 87 воздушных боёв, в которых сбил 14 самолётов противника лично и 9 в составе группы. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 28 сентября 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1202).

Продолжая вести бевую работу в составе 27-го Гвардейского ИАП в небе Ленинграда, к 25 июня 1944 года совершил ещё 51 боевой вылет, в 7 проведённых воздушных боях сбил лично 10 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 августа 1944 года был удостоен второй медали "Золотая Звезда".

20 октября 1944 года Гвардии майор А. Т. Карпов погиб в авиационной катастрофе: при перелёте из Таллина в Гатчину в сложных метеоусловиях (густая низкая облачность с полосами дождя) его самолёт упал в Финский залив.

Всего за годы войны произвёл 456 боевых вылетов, провёл 97 воздушных боёв, сбил лично 27 самолётов противника и 9 в группе, став самым результативным лётчиком-истребителем ПВО, а также единственным из них, дважды удостоенным высшей боевой награды страны.

10 августа 1968 года А. Т. Карпов был навечно зачислен в списки 27-го Гвардейского истребительного авиационного полка ПВО. Бронзовый бюст А. Т. Карпова установлен в Калуге (открыт 23 февраля 1949 года). В деревнях Андреевское и Филенёво (Ферзиковский район Калужской области) установлены памятные знаки. Его именем названы Калужский транспортно-технологический техникум, улица и сквер в Калуге, проспект и средняя школа № 472 в посёлке Левашово, улица в посёлке Ферзиково (Калужская область). В Калуге на здании училища, где он учился, и на здании завода, где он работал, установлены мемориальные доски. Кенотаф (символическая могила) расположен в посёлке Левашово (в черте Санкт-Петербурга).

Награждён орденами: Ленина (28.09.1943), Красного Знамени (19.08.1942, 13.02.1943, 07.04.1944), Александра Невского (13.04.1943); медалями.