Родился 18 января 1918 года в деревне Еруново (ныне не существует; территория Семенковского сельского поселения Вологодского района Вологодской области). В 1931 году окончил 4 класса школы в деревне Окишево (ныне Вологодского района). В 1931-1934 гг. жил в деревне Яруново (ныне Вологодского района), где в 1934 году окончил 7 классов школы. С 1934 года жил в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). В 1935 году окончил школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал токарем на сталелитейном заводе "Большевик" (бывшем Обуховском заводе), в 1936-1939 гг. - настройщиком автоматных станков в механосборочном цехе Ленинградского карбюраторного завода. В 1938 году окончил Ленинградский аэроклуб. С 15 января 1939 года в рядах Красной Армии. В октябре 1940 года окончил Чугуевское военное авиационное училище. Служил в должности пилота 84-го ИАП (ВВС Закавказского военного округа). Летал на И-153. В августе - сентябре 1941 гг. участвовал в походе советских войск в Иран.

С 10 августа 1942 года младший лейтенант А. Ф. Клубов в действующей армии: в должности командира звена 84-го "А" ИАП. Воевал в составе Северной группы войск Закавказского фронта и на Северо-Кавказском фронте. Участвовал в битве за Кавказ и Северо-Кавказской операции. Летал на И-153 и И-16. 2 ноября 1942 года в районе села Гизель (Пригородный район, Северная Осетия) был сбит в воздушном бою. До последнего пытаясь сохранить машину, лётчик боролся с пламенем, обгорел сам, но в конце концов был вынужден выпрыгнуть с парашютом, получив сильные ожоги лица и шеи.

До января 1943 года находился на излечении в госпитале (в городе Дербенте, Дагестан). После возвращения в свой полк продолжил боевые вылеты на истребителе И-16. В феврале 1943 года назначен заместителем командира эскадрильи. В апреле 1943 года 84-й "А" ИАП был выведен в тыл на доукомплектование.

В конце мая 1943 года А. Ф. Клубов был переведён в 16-й Гвардейский ИАП, где летал уже на американской "Аэрокобре". Воевал на Северо-Кавказском, Южном, 4-м Украинском, 2-м Украинском и 1-м Украинском фронтах. Участвовал в воздушном сражении на Кубани, Донбасской и Мелитопольской операциях, боях на Ясском направлении, Львовско-Сандомирской операции.

К 4 сентября 1943 года заместитель командира 1-й эскадрильи 16-го Гвардейского истребительного авиационного полка (9-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 8-я Воздушная армия, Южный фронт) Гвардии старший лейтенант А. Ф. Клубов совершил 310 боевых вылетов, провёл 84 воздушных боя, в которых сбил лично 14 и в составе группы 3 самолёта противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 апреля 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1320). В октябре 1943 года был назначен командиром эскадрильи.

10 мая 1944 года в жизни А. Ф. Клубова произошёл трагический случай, едва не сломавший всю его биографию. В этот день во время учебного полёта на "Аэрокобре" погиб командир эскадрильи Гвардии капитан И. К. Олефиренко. Вечером лётчики помянули своего боевого товарища, не обошлось без спиртного. Вернувшись с поминок в общежитие, А. Ф. Клубов в завязавшейся ссоре выстрелил в мастера по вооружению 508-го ИАП сержанта А. Д. Смирнова и попал ему в голову. Вооруженца в тяжёлом состоянии увезли в госпиталь. Дело приняло скверный оборот - лётчика собирались отдать под трибунал. Но личное вмешательство А. И. Покрышкина помогло сохранить для нашей авиации выдающегося лётчика-истребителя, его оставили в полку. В октябре 1944 года А. Ф. Клубов был назначен помощником командира полка.

1 ноября 1944 года помощник командира по воздушно-стрелковой службе  16-го Гвардейского истребительного авиационного полка (9-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия) Гвардии капитан А. Ф. Клубов погиб в авиационной катастрофе при выполнении тренировочного полёта на истребителе Ла-7 (после приземления самолёт выкатился за пределы взлётно-посадочной полосы и скапотировал, лётчик получил тяжелейшие травмы и умер через 1,5 часа после катастрофы). Был похоронен на Холме Славы в городе Львове (Украина), а в июне 2001 года перезахоронен на Введенском кладбище в Вологде.

Всего совершил 457 боевых вылетов, в 95 воздушных боях сбил лично 31 самолёт противника и 3 в составе группы (ещё 16 самолётов уничтожил в составе группы на земле при штурмовке вражеских аэродромов). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года Гвардии капитан А. Ф. Клубов посмертно награждён второй медалью "Золотая Звезда".

Бронзовый бюст А. Ф. Клубова установлен в селе Кубенское (Вологодский район Вологодской области, открыт 5 ноября 1949 года). Его именем названы улицы в городе Вологде, селе Кубенское, деревнях Дмитриевское и Марфино (Вологодский район). Имя А. Ф. Клубова носят школа № 15 в Вологде и школа в селе Кубенское, а также военно-патриотический клуб в Санкт-Петербурге. Бюст установлен также в селе Новленское Вологодского района Вологодской области, памятный знак - в Вологде. В 1967-2006 гг. имя героя носил пассажирский речной теплоход "Александр Клубов" (порт приписки - Вологда).

Награждён орденами: Ленина (13.04.1944), Красного Знамени (19.10.1942, 04.11.1943), Александра Невского (02.02.1944), Отечественной войны 1-й степени (02.05.1943); медалью "За оборону Кавказа".

Из материалов прессы военных лет: