Родился 15 сентября 1921 года в городе Екатеринбурге (ныне административный центр Уральского федерального округа и Свердловской области). В 10 лет остался сиротой. Учился в ремесленном училище. С 1941 года в рядах Красной Армии, призван Свердловским ГВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков и был направлен в 8-й ОСТАП.

С 6 апреля 1943 года младший лейтенант Б. А. Лебёдкин в действующей армии. Воевал в составе 28-го Гвардейского ИАП (5-я Гвардейская ИАД). Сражался на Северо-Западном, Калининском, 2-м Прибалтийском, 1-м Прибалтийских, 3-м Белорусском и Ленинградском фронтах. Летал на "Аэрокобре".

К 9 мая 1945 года старший лётчик 28-го Гвардейского истребительного авиационного полка (5-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 11-й истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Ленинградский фронт) Гвардии лейтенант Б. А. Лебёдкин совершил 247 боевых вылетов, провёл 31 воздушный бой и сбил лично 16 самолётов противника (из них 1 не подтверждён).

Участник вооружённого конфликта на территории Кореи с ноября 1950 года по февраль 1951 года в составе 2-й эскадрильи того же 28-го Гвардейского ИАП (151-я Гвардейская ИАД, 64-й ИАК), базировавшегося на аэродроме Андунь. Летал на МиГ-15. В небе Кореи Гвардии капитан Б. А. Лебёдкин лично сбил 1 самолёт противника.

10 февраля 1951 года, фактически в день перебазирования и первого боевого вылета самолётов полка в небе Кореи в составе четвёрки МиГ-15 атакой сверху по четвёрке Ф-80 сбил один из "Шутов". Всего в этой атаке группа противника была практически уничтожена - сбито 3 самолёта. Однако американцы признали потерю только одного Ф-80 из 80-й авиаэскадрильи 8-й ИБАГ, что вызывает большое сомнение, так как горение самолётов противника и их падение наблюдали все пилоты полка.

После возвращения в Советский Союз продолжал служить в ВВС, был заместителем командиром полка. С 6 марта 1959 года Гвардии подполковник Б. А. Лебёдкин - в запасе. Умер 23 августа 2003 года.

Награждён орденами: Красного Знамени (14.03.1945, 26.03.1945, 15.05.1945, 28.09.1956), Отечественной войны 1-й степени (17.07.1944), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (14.03.1945, 12.05.1951, 29.04.1954, 30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (17.05.1951).