Родился 1 июля 1915 года в городе Москве. В 1930 году окончил 7 классов средней школы, затем Московский авиационный техникум. В 1938 году окончил Коктебельскую школу ОСОАВИАХИМа СССР, летал на планерах, имел в кругу "парителей" имя и популярность. Международная авиационная федерация ФАИ - отметила А. Г. Молчанова особой грамотой, за первое в мире исполнение обратной петли на планере. В 1939 году приказом НКО СССР № 97/з ему присвоено воинское звание младший лейтенант запаса. Состоял на учёте в Куйбышевском РВК города Москвы по ВУС № 1 командный состав ВВС. В декабре 1939 года добровольно вступил в ряды Красной Армии, призван Куйбышевским РВК (города Москвы). В ноябре 1940 года окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов и был оставлен в ней лётчиком-инструктором.

С 6 января 1942 года лейтенант А. Г. Молчанов в действующей армии. По 13 февраля 1942 года воевал в составе 739-го ИАП (6-я САД, ВВС Северо-Западного фронта), летая на ЛаГГ-3. 3 февраля 1942 года был сбит огнём зенитной артиллерии, ранен в плечо.

24 марта 1942 года направлен командиром звена в 24-й ИАП (2-я УАГ РСВГК, ВВС Северо-Западного фронта), где продолжал летать на ЛаГГ-3. Был ещё дважды ранен: 30.03.1942 и 25.04.1942.

16 мая 1942 года командир 2-й эскадрильи 24-го истребительного авиационного полка (2-я Ударная авиационная группа Резерва Ставки ВГК, Северо-Западный фронт) старший лейтенант А. Г. Молчанов погиб в воздушном бою и был захоронен в деревне Лука (Залучкский район Ленинградской области). Всего совершил около 80 боевых вылетов, провёл более 25 воздушных боёв, сбил лично 8 и в составе группы 7 самолётов противника.

Награждён орденами: Ленина (23.06.1942), Красного Знамени (29.04.1942).