Родился 29 августа 1915 года в городе Харькове (ныне административный центр Харьковской области). Окончил среднюю школу и городской аэроклуб. В сентябре 1938 года добровольно вступил в ряды Красной Армии. Окончил Харьковскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС.

С 22 июня 1941 года младший лейтенант А. П. Показий в действующей армии. Воевать начал в 23-м ИАП на Юго-Западном фронте (в составе 15-й САД), летал на МиГ-3. 15 июля 1941 года полк передал всю матчасть и лётный состав в 28-й ИАП и отправился в тыл на переформирование.

С января 1942 года лейтенант А. П. Показий служил уже в должности командира 2-й эскадрильи 293-го ИАП, который в 16-м ЗИАП Приволжского военного округа (посёлок Баланда, Саратовской области) проходил переформирование и осваивал новую технику. С 13 марта 1942 года приступил к боевой работе на Волховском фронте, летая на Як-1. С 15 июля 1942 года боевой работы не вёл: полк убыл с фронта в тыл, в 16-м ЗИАП Приволжского военного округа проходил переформирование. С 15 октября 1942 года воевал на Сталинградском фронте, с 3 января 1943 года - на Южного фронта (в составе 287-й ИАД, 8-й Воздушной армии).

С марта 1943 года старший лейтенант А. П. Показий служил в Главном управлении боевой подготовки фронтовой авиации ВВС КА, летал на разных типах самолётов. С 8 июля по 5 августа 1944 года, участвуя в войсковых испытаниях нового истребителя Як-3, в воздушных боях сбил лично 2 самолёта противника и 1 в составе пары. В период с 13 февраля по 1 апреля 1945 года вёл боевую работу в состве группы подполковника Н. И. Храмова по обеспечению деятельности частей 3-го ШАК.

К 9 мая 1945 года инструктор-лётчик ГУБП ФА ВВС КА майор А. П. Показий совершил 309 боевых вылетов, в 78 воздушных боях сбил лично 7 и в составе пары 1 самолёт противника (в последнем наградном листе говорится о 10 личных победах).

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. 25 мая 1948 года погиб в авиационной катастрофе.

Награждён орденами: Ленина (17.06.1943, 06.04.1945), Красного Знамени (12.12.1942), Отечественной войны 1-й степени (29.07.1944), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985); медалями.