Родился 12 февраля 1920 года в селе Торомка (ныне входит в состав Таборинского сельского поселения Таборинского муниципального района Свердловской области). Окончил среднюю школу. С 22 февраля 1941 года в рядах Красной Армии, призван Таборинским РВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в 25-м ЗИАП Закавказского фронта (город Аджи-Кабул, Азербайджанской ССР).

С 19 июля 1943 года младший лейтенант А. Р. Прудников в действующей армии: в должности пилота 821-го ИАП, который в составе 9-й Гвардейской ИАД проводил учебно-боевую подготовку лётного состава и доосвоение матчасти (английские истребители "Спитфайр-5Б"). Боевую работу начал с 1 августа 1943 года на Северо-Кавказском фронте (в составе 229-й ИАД и 236-й ИАД, 4-й Воздушной армии), летая на "Спитфайре" (совершил на нём 15 боевых вылетов).

С 28 сентября 1943 года боевой работы не вёл: полк на аэродроме Хутунок (город Новочеркасск) проводил изучение и освоение личным составом американского истребителя "Аэрокобра". 29 декабря 1943 года включён в состав 190-й ИАД, 5 января 1944 года наземным эшелоном перебазировался на аэродром Хотилово (Калининской области), где с 26 января 1944 года проходил переформирование и завершал освоение самолётов "Аэрокобра". С 3 июня 1944 года приступил к боевой работе на 1-м Прибалтийском фронте (в составе 190-й ИАД, 11-го ИАК, 3-й Воздушной армии), летая на "Аэрокобре". Принимал участие в боях при прорыве советскими войсками обороны противника северо-западнее и юго-западнее города Шяуляя (Шавли). С 25 февраля 1945 года воевал на 3-м Белорусском фронте (в составе Земландской группы войск), с 5 мая 1945 года - уже на Ленинградском фронте (в составе 15-й Воздушной армии).

К 9 мая 1945 года командира звена 821-го истребительного авиационного полка (190-я истребительная авиационная дивизия, 11-й истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Ленинградский фронт) старший лейтенант А. Р. Прудников совершил 189 боевых вылетов, в 27 воздушных боях сбил лично 4 и в составе пары 1 самолёт противника.

Участник Советско-Японской войны с 9 августа по 3 сентября 1945 года в составе того же 821-го ИАП (190-й ИАД, 12-й Воздушной армии, Забайкальскоrо фронта). Летал на американской "Кингкобре", воздушных побед не имел.

Участник вооружённого конфликта в Корее с февраля по июль 1952 года в составе 821-го ИАП (190-я ИАД, 64-й ИАК). Летал на МиГ-15, в воздушных боях сбил лично 3 самолёта ВВС США.

Вернувшись в СССР продолжал служить в ВВС на различных должностях. В конце 1950-х годов подполковник А. Р. Прудников командовал 732-м ИАП. С 4 октября 1960 года полковник А. Р. Прудников - в запасе. Работал экскурсоводом в катакомбах Мемориала партизанской славы села Нерубайское (Беляевского района Одесской области).

Награждён орденами: Красного Знамени (09.10.1944, 01.11.1944, 25.09.1952, 16.10.1957), Александра Невского (02.06.1945), Отечественной войны 1-й степени (12.07.1944, 03.03.1945), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (04.06.1955, 30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (17.05.1951).