Родился 30 августа 1923 года в селе Алексеевка (ныне Хвалынский район Саратовской области). Окончил 8 классов средней школы № 16 в городе Вольске. С 15 мая 1940 года в рядах Красной Армии, призван Вольским ГВК (Саратовская область). В июне 1941 года окончил Энгельсскую военную авиационную школу пилотов в звании сержанта. Служил в частях ВВС Московского военного округа.

С августа 1943 года лейтенант А. С. Рычков в действующей армии. Воевал в составе 3-го Гвардейского ИАП (235-я ИАД). Прошёл путь от рядового пилота до старшего лётчика. Сражался на Воронежском и 1-м Украинском фронтах. Летал на Ла-5.

26 июля 1944 года старший лётчик 3-го Гвардейского истребительного авиационного полка (235-я истребительная авиационная дивизия, 10-й истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии лейтенант А. С. Рычков погиб в авиационной катастрофе. Всего совершил более 80 боевых вылетов, провёл более 20 воздушных боёв и сбил лично 8 самолётов противника. Похоронен в городе Глубочек (Борщевский район Тарнопольской области Украины).

Награждён орденами: Красного Знамени (07.02.1944), Красной Звезды (03.11.1943).