Родился 23 августа 1918 года в Екатеринбурге (в 1924 - 1991 гг. - город Свердловск). Окончил 7 классов и школу фабрично-заводского ученичества (ныне СПТУ № 94). С 1934 года работал слесарем на заводе "Металлист" в Свердловске. С сентября 1935 года был инструктором-планеристом в Первоуральской планерной станции, с апреля 1937 года работал инструктором-лётчиком Свердловского аэроклуба. С 15 декабря 1938 года в рядах Красной Армии. В 1940 году окончил Сталинградскую военную авиационную школу лётчиков. С июня 1940 года служил младшим лётчиком в 153-м ИАП (ВВС Западного особого округа).

С июня 1941 года младший лейтенант А. П. Силантьев на фронтах Великой Отечественной войны в должности старшего лётчика того же 153-го ИАП, летал на И-153. В августе 1941 года направлен в 160-й ИАП, где летал на ЛаГГ-3. Был командиром звена, заместителем командира эскадрильи, командиром эскадрильи, штурманом полка.

К 7 декабря 1941 года заместитель командира эскадрильи 160-го истребительного авиационного полка (3-я Резервная авиационная группа, 4-я Отдельная армия, Ленинградский фронт) старший лейтенант А. П. Силантьев совершил 203 боевых вылета, провёл 23 воздушных боя, в которых лично сбил 6 и в составе группы 1 самолёт противника (в материалах наградного листа говорится о 7 личных победах), а так же 1 аэростат наблюдения. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 декабря 1941 года удостоен зваания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".

С января 1943 года капитан А. П. Силантьев служил в Управлении истребительной авиации Главного управления боевой подготовки фронтовой авиации ВВС КА, летал на различных типах самолётов, выполнил 28 боевых вылетов (в том числе несколько ночью).

К маю 1945 года майор А. П. Силантьев совершил 343 боевых вылета, провёл около 40 воздушных боёв, в которых сбил лично 6 и в составе группы 2 самолёта противника. Сам был сбит 3 раза, имел 2 ранения. Сражался на Северном, Ленинградском, Волховском, Воронежском, Юго-Западном, Карельском, 1-м Белорусском и 1-м Украинском фронтах.

После войны продолжал службу в ВВС. В 1950 году окончил Военно-Воздушную академию, в 1957 году - Высшую военную академию. Служил на ответственных должностях в ВВС: старший инспектор-лётчик и начальник отдела Управления боевой подготовки ВВС, начальник штаба - заместитель командира авиационной дивизии, начальник оперативного отдела штаба воздушной армии, начальник штаба - первый заместитель командующего Воздушной армией. С января 1964 года - заместитель начальника, с июня 1964 года - начальник Управления авиации и ПВО Главного оперативного управления Генерального штаба Вооружённых Сил СССР, с октября 1969 года - начальник Главного штаба - первый заместитель Главнокомандующего ВВС. С июня 1978 года - заместитель Главнокомандующего ВВС. С ноября 1980 года - военный инспектор - советник Группы Генеральных инспекторов Министерства обороны СССР. С 1992 года маршал авиации А. П. Силантьев - в отставке. Жил в Москве. Умер 10 марта 1996 года, похоронен на Новодевичьем кладбище.

Награждён орденами: Ленина (17.12.1941, ...), Красного Знамени (29.06.1942, ...), Отечественной войны 1-й степени (25.03.1944, 11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (02.06.1945), Красной Звезды, "За службу Родине в Вооружённых Силах СССР" 3-й степени; медалями, в том числе: "За отвагу" (01.04.1942); иностранными наградами.