Родился 27 сентября 1918 года в деревне Новый Кривск (Журавичский район Гомельской области Республики Беларусь). Окончил 7 классов средней школы. Работал мастером по шлифовке стекла на стеклозаводе имени Сталина (в Гомеле). С 27 ноября 1938 года в рядах Красной Армии, призван Гомельским ГВК. В 1939 году окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в 166-м Резервном АП, затем в 120-м ИАП (ВВС Московского военного округа).

С декабря 1941 года младший лейтенант И. А. Шаройко в действующей армии. Воевал в составе 163-го ИАП. Прошёл путь от рядового пилота до командира звена. Боевую работу начал в составе Московской зоны ПВО (6-й ИАК ПВО). В середине января 1942 года полк был передан в состав 7-й САД ВВС Калининского фронта. С 22 февраля 1942 года входил в состав ВВС 3-й Ударной армии, с мая 1942 года - 211-й САД, с 10 июля 1942 года - 210-й ИАД. Летал на Як-1.

27 августа 1942 года командир звена 163-го истребительного авиационного полка (210-я истребительная авиационная дивизия, 3-я Воздушная армия, Калининский фронт) старший лейтенант И. А. Шаройко при выполнении боевого задания по сопровождению штурмовиков Ил-2 был сбит в районе города Ржева и попал в плен. Освобождён в мае 1945 года. Проходил проверку в 32-м Запасном стрелковом полку. Всего совершил около 140 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 9 и в составе группы 2 самолёта противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 1 июля 1948 года старший лейтенант И. А. Шаройко - в запасе.

Награждён орденами: Ленина (26.08.1942), Красного Знамени (28.02.1942).