Родился 23 апреля 1919 года в городе Тихорецке (Краснодарский край). С 1 января 1940 года в рядах Красной Армии, призван Тихорецким РВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков, затем проходил переучивание на новую технику в 19-м ЗИАП ВВС Сибирского военного округа (аэродром Тарново, близ города Новосибирска).

С 15 октября 1942 года старший сержант Б. И. Шмыгин в действующей армии. Воевал в составе 774-го ИАП (282-я и 234-я ИАД). Прошёл путь от рядового пилота до заместителя командира эскадрильи. Сражался на Юго-Западном, Центральном, Брянском, Белорусском и 1-м Белорусском фронтах. Летал на Як-7, Як-1 и Як-9.

1 сентября 1944 года заместитель командира эскадрильи 774-го истребительного авиационного полка (282-я истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, 1-м Белорусский фронт) старший лейтенант Б. И. Шмыгин погиб в воздушном бою в районе Соколув - Минск - Мазовецки. Похоронен на площади города Луков (Варшавское воеводство, Польша). Всего совершил около 150 боевых вылетов, провёл около 40 воздушных боёв и сбил лично 13 самолётов противника.

Награждён орденами: Красного Знамени (10.08.1943, 19.08.1944), Отечественной войны 2-й степени (09.08.1943), Красной Звезды (06.01.1943).